Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O．AB為⊙O的直徑，BC=3，AB=5，D、E分別是邊AB、BC上的兩個動點（不與端點A、B、C重合），將△BDE沿DE折疊，點B的對應點B′恰好落在線段AC上（包含端點A、C），若△ADB′為等腰三角形，則AD的長為___．

Answer 1

【答案】或或．

【解析】

根據圓周角定理得到∠C=90°，根據勾股定理得到AC=4，根據折疊的性質得到BD=B′D，BE=B′E，①當AB′=DB′時，設AB′=DB′=BD=x，根據相似三角形的性質得到AD=5-x=；；②當AD=DB′時，則AD=DB′=BD=AB=；③當AD=AB′時，如圖2，過D作DH⊥AC于H，根據平行線分線段成比例定理即可得到結論．

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠C=90°，

∵BC=3，AB=5，

∴AC=4，

∵將△BDE沿DE折疊，點B的對應點B′恰好落在線段AC上，

∴BD=B′D，BE=B′E，

若△ADB′為等腰三角形，

①當AB′=DB′時，設AB′=DB′=BD=x，

則AD=5-x，

如圖1，過B′作B′F⊥AD于F，

則AF=DF=AD，

∵∠A=∠A，∠AFB′=∠C=90°，

∴△AFB′∽△ACB，

∴=，

∴=，

解得：x=，

∴AD=5-x=；

②當AD=DB′時，則AD=DB′=BD=AB=；

③當AD=AB′時，如圖2，過D作DH⊥AC于H，

∴DH∥BC，

∴==，

設AD=5m，

∴DH=3m，AH=4m，

∴DB′=BD=5-5m，HB′=5m-4m=m，

∵=+，

∴=+，

∴m=，m=（不合題意舍去），

∴AD=，

故答案為：或或．