Question

如圖，點C是以AB為直徑的圓O上一點，直線AC與過點B的切線相交于點D，D點E是BD的中點，直線CE交直線AB與點．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若ED=，tanF=，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）3．

試題分析：（1）連CB、OC，根據切線的性質得∠ABD=90°，根據圓周角定理由AB是直徑得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，則根據直角三角形斜邊上的中線性質得CE=BE，所以∠BCE=∠CBE，所以∴OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根據切線的判定定理得CF是⊙O的切線.
（2）CE=BE=DE=，在Rt△BFE中，利用正切的定義得，可計算出BF=2，再利用勾股定理可計算出EF=，所以CF=CE+EF=4，然后在Rt△OCF中，利用正切定義可計算出OC．
試題解析：（1）如圖，連接CB、OC，
∵BD為⊙O的切線，∴DB⊥AB。∴∠ABD=90°.
∵AB是直徑，∴∠ACB=90°.
∴∠BCD=90°.
∵E為BD的中點，∴CE="BE." ∴∠BCE=∠CBE.
而∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°.
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切線；
（2）解：CE=BE=DE=，
在Rt△BFE中，，∴BF=2.
∴.∴CF=CE+EF=4.
在Rt△OCF中，，∴OC=3，即⊙O的半徑為3．