Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線，點P為矩形外一點且滿足AP=PC，AP⊥PC，PC交AD于點N，連接DP，過點P作PM⊥PD交AD于M．

（1）若AP=5，AB=BC，求矩形ABCD的面積；

（2）若CD=PM，試判斷線段AC、AP、PN之間的關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）15；（2）AC=AP+PN，證明詳見解析.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質可得AC=AP=5，由勾股定理可求AB=，BC=3，即可求矩形ABCD的面積；

（2）由矩形的性質可得∠ADC=∠APC=90°，可證點A，點C，點D，點P四點共圓，可得∠PDA=∠PCA=45°，∠PCD=∠PAD，∠DPC=∠DCA，由“ASA”可證△ADE≌△ADC，△PAN≌△PEC，可得AC=AE，PN=PE，即可得結論．

解：（1）∵AP=PC，AP⊥PC，

∴AC=AP=5

∵AB2+BC2=AC2，AB=BC，

∴AB=，BC=3

∴S四邊形ABCD=AB×BC=15

（2）AC=AP+PN

如圖．延長AP，CD交于點E

∵AP=PC，AP⊥PC，

∴∠APC=90°，∠PAC=∠PCA=45°

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠ADC=90°，

∴∠ADC=∠APC

∴點A，點C，點D，點P四點共圓

∴∠PDA=∠PCA=45°，∠PCD=∠PAD，∠DPC=∠DCA，

∵PM⊥PD

∴∠PMD=∠PDM=45°

∴PM=PD，且PM=CD

∴PD=CD，

∴∠DPC=∠DCP

∴∠PAD=∠DAC，且AD=AD，∠ADE=∠ADC=90°

∴△ADE≌△ADC（ASA）

∴AC=AE，

∵AP=PC，∠APC=∠EPC=90°，∠PCE=∠PAD

∴△PAN≌△PEC（ASA）

∴PN=PE

∴AC=AE=AP+PE=AP+PN