Question

【題目】已知E，F分別是AB、CD上的動點，P也為一動點．
（1）如圖1，若AB∥CD，求證：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）如圖2，若∠P=∠PFD﹣∠BEP，求證：AB∥CD；
（3）如圖3，AB∥CD，移動E，F使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，

∵∠EPF=∠1+∠2，

∴∠EPF=∠BEP+∠PFD

（2）證明：∵∠BGP是△PEG的外角，

∴∠P=∠BGP﹣∠BEP．

∵∠P=∠PGB﹣∠BEP，

∴∠PFD=∠PGB，

∴AB∥CD

（3）解：由（1）的結論∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°，

設∠PFD=x，則∠BEP=90°﹣x，

∵∠PEG=∠BEP=90°﹣x，

∴∠AEG=180°﹣2（90°﹣x）=2x，則 = =2

【解析】（1）過P作PQ平行于AB，由AB與CD平行，得到PQ與CD平行，利用兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，再由∠EPF=∠1+∠2，等量代換就可得證；（2）先根據三角形外角的性質得出∠P=∠BGP﹣∠BEP，再由∠P=∠PGB﹣∠BEP可知，∠PFD=∠PGB，由此可得出結論；（3）由（1）中的結論∠EPF=∠BEP+∠PFD，設設∠PFD=x，則∠BEP=90°﹣x，根據∠PEG=∠BEP=90°﹣x，利用平角定義表示出∠AEG，即可求出所求比值．
【考點精析】關于本題考查的平行線的判定與性質，需要了解由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質才能得出正確答案．