Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，點P是CD的中點，∠BCD=60°，射線AP交BC的延長線于點E，射線BP交DE于點K，點O是線段BK的中點，作BM⊥AE于點M，作KN⊥AE于點N，連結MO、NO，以下四個結論：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN=；③BP=4PK；④PMPA=3PD2，其中正確的是（　　）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據菱形的性質得到AD∥BC，根據平行線的性質得到對應角相等，根據全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性質得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根據點P是CD的中點證明CE=2PI，BE=4PI，根據相似三角形的性質得到，得到BP=3PK，故③錯誤；作OG⊥AE于G，根據平行線等分線段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，證明△MON是等腰三角形，故①正確；根據直角三角形的性質和銳角三角函數求出∠OMN=，故②正確；然后根據射影定理和三角函數即可得到PMPA=3PD2，故④正確．

解：作PI∥CE交DE于I，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，

在△ADP和△ECP中，

，

∴△ADP≌△ECP，

∴AD=CE，

則，又點P是CD的中點，

∴，

∵AD=CE，

∴，

∴BP=3PK，

故③錯誤；

作OG⊥AE于G，

∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，

∴BM∥OG∥KN，

∵點O是線段BK的中點，

∴MG=NG，又OG⊥MN，

∴OM=ON，

即△MON是等腰三角形，故①正確；

由題意得，△BPC，△AMB，△ABP為直角三角形，

設BC=2，則CP=1，由勾股定理得，BP=，

則AP=，

根據三角形面積公式，BM=，

∵點O是線段BK的中點，

∴PB=3PO，

∴OG=BM=，

MG=MP=，

tan∠OMN=，故②正確；

∵∠ABP=90°，BM⊥AP，

∴PB2=PMPA，

∵∠BCD=60°，

∴∠ABC=120°，

∴∠PBC=30°，

∴∠BPC=90°，

∴PB=PC，

∵PD=PC，

∴PB2=3PD，

∴PMPA=3PD2，故④正確．

故選B．