Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BF為⊙O的切線，∠AEB=90°，∠ABE=30°，過O作OD⊥BE，垂足為D，延長OD交BF于點C，求證：△ABE≌△OCB．

Answer 1

【答案】分析：由∠AEB=90°，根據圓周角定理的推論得到AB是⊙O的直徑，而∠ABE=30°，則AE=AB=OB；再根據切線的性質得到∠OBC=90°；易證得AE∥OD，得∠EAB=∠DOB，然后根據三角形全等的判定即可得到結論．
解答：證明：∵∠AEB=90°，
∴AB是⊙O的直徑，
在△AEB中，∠AEB=90°，∠ABE=30°，
∴AE=AB=OB，
又∵BF為⊙O的切線，OB為半徑，
∴OB⊥BC，即∠OBC=90°，
∴∠AEB=∠OBC，
∵OD⊥BE，
∴∠ODB=∠AEB=90°，
∴AE∥OD，
∴∠EAB=∠DOB，
在△ABE和△OCB中，
∠AEB=∠OBC，AE=OB，∠EAB=∠COB，
∴△ABE≌△OCB．
點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理的推論、三角形全等的判定以及含30度的直角三角形三邊的關系．