Question

（2012•黔東南州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求證：△ABC∽△BDC．
（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面積．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=∠BCD=90°，又由BD是⊙O的切線，根據(jù)同角的余角相等，可得∠A=∠CBD，利用有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可證得△ABC∽△BDC；
（2）由AC=8，BC=6，可求得△ABC的面積，又由△ABC∽△BDC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△BDC的面積．

解答：（1）證明：∵BD是⊙O的切線，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠BCD=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠CBD+∠D=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△ABC∽△BDC；

（2）解：∵△ABC∽△BDC，
∴

S△ABC

S△BDC

=(

AC

BC

)2，
∵AC=8，BC=6，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×8×6=24，
∴S_△BDC=S_△ABC÷(

AC

BC

)2=24÷（

8

6

）²=

27

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．