Question

【題目】如圖，中，，，，若動點P從點C開始，按的路徑運動，且速度為每秒1cm，設出發的時間為t秒．

出發2秒后，求的面積；

當t為幾秒時，BP平分；

問t為何值時，為等腰三角形？

Answer 1

【答案】(1)18；（2）當秒時，BP平分；（3）或13s或12s或時為等腰三角形．

【解析】

（1）利用勾股定理得出AC=8cm，進而表示出AP的長，進而得出答案；

（2）過點P作PD⊥AB于點D，由HL證明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，因此AD=10﹣6=4cm，設PC=x cm，則PA=（8﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）利用分類討論的思想和等腰三角形的特點及三角形的面積求出答案．

（1）如圖1．

∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴AC=8cm，根據題意可得：PC=2cm，則AP=6cm，故△ABP的面積為：×AP×BC=×6×6=18（cm2）；

（2）如圖2所示，過點P作PD⊥AB于點D．

∵BP平分∠CBA，∴PD=PC．

在Rt△BPD與Rt△BPC中，，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD=BC=6 cm，∴AD=10﹣6=4 cm．

設PC=x cm，則PA=（8﹣x）cm

在Rt△APD中，PD2+AD2=PA2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴當t=3秒時，BP平分∠CBA；

（3）如圖3，若P在邊AC上時，BC=CP=6cm，此時用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；

若P在AB邊上時，有3種情況：

①如圖4，若使BP=CB=6cm，此時AP=4cm，P運動的路程為12cm，所以用的時間為12s，故t=12s時△BCP為等腰三角形；

②如圖5，若CP=BC=6cm，過C作斜邊AB的高，根據面積法求得高為4.8cm，根據勾股定理求得BP=7.2cm，所以P運動的路程為18﹣7.2=10.8cm，∴t的時間為10.8s，△BCP為等腰三角形；

③如圖6，若BP=CP時，則∠PCB=∠PBC．

∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC，∴PA=PB=5cm

∴P的路程為13cm，所以時間為13s時，△BCP為等腰三角形．

綜上所述：當t=6s或13s或12s或 10.8s 時△BCP為等腰三角形．