Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面內任取一點D，連結AD（AD＜AB），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AE，連結DE，CE，BD．

（1）直線BD和CE的位置關系是　 　；

（2）猜測BD和CE的數量關系并證明；

（3）設直線BD，CE交于點P，把△ADE繞點A旋轉，當∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1時，直接寫出PB的長．

Answer 1

【答案】（1）BD⊥CE；（2）BD＝CE，證明見解析；（3）或．

【解析】

（1）依據等腰三角形的性質得到AB＝AC，AD＝AE，依據同角的余角相等得到∠DAB＝∠CAE，然后依據SAS可證明△ADB≌△AEC，最后，依據全等三角形的性質可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質即可得到結論；

（3）分為點E在AB上和點E在BA的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△BPE∽△BAD，最后依據相似三角形的性質進行證明即可．

解：（1）BD⊥CE，

理由：延長CE交BD于P，

∵將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AE，

∴AD＝AE，∠DAE＝90°，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，

∴∠DAB＝∠EAC，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°，

∴∠BPC＝90°，

∴BD⊥CE，

故答案為：BD⊥CE；

（2）BD和CE的數量是：BD＝CE；

由（1）知△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE；

（3）①當點E在AB上時，BE＝AB﹣AE＝1．

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝＝，

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∵∠AEC＝∠BEP，

∴∠BPE＝∠EAC＝90°，

∵∠PBE＝∠ABD，

∴△BPE∽△BAD，

∴＝，

∴＝，

∴BP＝．

②當點E在BA延長線上時，BE＝3，

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝＝，

由△BPE∽△BAD，

∴＝，

∴＝，

∴PB＝，

綜上所述，PB的長為或．