Question

請閱讀下列材料：如圖甲，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于O．由矩形的性質得，BO=AO=

1

2

AC．于是我們得到定理1：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．
前面的條件不變，若∠ACB=30°，由矩形的性質得，∠AOB=60°，所以△ABO為等邊三角形，所以AB=AO=

1

2

AC．于是我們得到定理2：直角三角形中，30°的直角邊等于斜邊的一半．請你運用以上兩個定理，解答下面兩題：
（1）如圖乙，O為矩形ABCD的對角線交點，DF平分∠ADC交AC于點E，交BC于點F，∠BDF=15°，則∠COF=

 

 度；
（2）如圖丙，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，D為EF的中點，求AD的最小值．

Answer 1

考點：含30度角的直角三角形

專題：閱讀型

分析：（1）根據DF平分∠ADC與∠BDF=15°可以計算出∠CDO=60°，再根據矩形的對角線相等且互相平分可得OD=OC，從而得到△OCD是等邊三角形，再證明△COF是等腰三角形，然后根據三角形內角和定理解答即可；
（2）先判斷四邊形AEPF是矩形，然后根據矩形的性質就可以得出，EF，AP互相平分，且EF=AP，垂線段最短的性質就可以得出AP⊥BC時，AP的值最小，即AD的值最小，根據面積關系建立等式求出其解即可．

解答：解：（1）∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=CF，
∵∠BDF=15°，
∴∠CDO=∠CDF+∠BDF=45°+15°=60°，
在矩形ABCD中，OD=OC，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC=CD，∠OCD=60°，
∴OC=CF，∠OCF=90°-∠OCD=90°-60°=30°，
在△COF中，∠COF=

1

2

（180°-30°）=75°．
故答案為：75；
（2）在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
∵AB²+AC²=16+9=25=5²=BC²，
∴△ABC是Rt△，且∠BAC=90°
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴四邊形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交點就是D點．
∵當AP的值最小時，AD的值就最小，
∴當AP⊥BC時，AP的值最小，即AD的值最小．
∵

1

2

AP•BC=

1

2

AB•AC，
∴AP•BC=AB•AC．
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴5AP=3×4，
∴AP=

12

5

．
∴AD=

6

5

．

點評：本題考查了矩形的性質與判定，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，角平分線的定義，熟記各性質是解決本題的關鍵．