Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點，將△ADM沿直線AM對折，得到△ANM．

（1）當AN平分∠MAB時，求DM的長；

（2）連接BN，當DM=1時，求△ABN的面積；

（3）當射線BN交線段CD于點F時，求DF的最大值．

Answer 1

【答案】（1）DM=；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）由折疊可知：△ANM≌△ADM，∠MAN=∠DAM，由AN平分∠MAB，得到∠MAN=∠NAB，進一步有∠DAM=∠MAN=∠NAB．由四邊形ABCD是矩形，得到∠DAM=30°，由DM=ADtan∠DAM得到DM的長；

（2）如圖1，延長MN交AB延長線于點Q，∵由四邊形ABCD是矩形，得到∠DMA=∠MAQ．由折疊可知：△ANM≌△ADM，∠DMA=∠AMQ，得到∠MAQ=∠AMQ，故MQ=AQ．

設NQ=x，則AQ=MQ=1+x．在Rt△ANQ中，由，得到x=4．

故NQ=4，AQ=5，由==ANNQ，即可得到結論；

（3）如圖2，過點A作AH⊥BF于點H，則△ABH∽△BFC，故.由AH≤AN=3，AB=4，故當點N、H重合（即AH=AN）時，DF最大．此時M、F重合，B、N、M三點共線，△ABH≌△BFC（如圖3），而CF=BH==，故課求出DF的最大值．

試題解析：（1）由折疊可知：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∴∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=ADtan∠DAM==；

（2）如圖1，延長MN交AB延長線于點Q，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ．由折疊可知：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ．

設NQ=x，則AQ=MQ=1+x．在Rt△ANQ中， ，∴，解得：x=4．

∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴==ANNQ=；

（3）如圖2，過點A作AH⊥BF于點H，則△ABH∽△BFC，∴.∵AH≤AN=3，AB=4，∴當點N、H重合（即AH=AN）時，DF最大．（AH最大，BH最小，CF最小，DF最大）

此時M、F重合，B、N、M三點共線，△ABH≌△BFC（如圖3），∴CF=BH===，∴DF的最大值為：．