Question

如圖，已知：正△OAB的面積為4

3

，雙曲線y=

k

x

經過點B，點P（m，n）（m＞0）在雙曲線y=

k

x

上，PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D，設矩形OCPD與正△OAB不重疊部分的面積為S．
（1）求點B的坐標及k的值；
（2）求m=1和m=3時，S的值．

Answer 1

分析：（1）B點的坐標可通過分別向x軸，y軸作垂線得到，然后根據等邊三角形的性質可知橫坐標是

1

2

OA，縱坐標是三角形的高的長度．
（2）找到m=1和m=3時P的位置，用總面積-2×重疊部分的面積=不重疊部分的面積，根據次等連關系可求解．

解答：解：（1）設

1

2

OA=x，則三角形的高為

3

x，
∵正△OAB的面積為4

3

．
∴

1

2

2x•

3

x=4

3

x=2．
故B點的坐標是（2，2

3

）．
k=xy=2×2

3

=4

3

；

（2）∵m=1，y=

4 3

x

，
∴n=4

3

．
∵OM=1，
∴MN=

3

．
∴S=1×4

3

+4

3

-

1

2

×1×

3

×2=7

3

∵m=3，y=

4 3

x

，
∴n=

4 3

3

；
∴EG=

4 3

3

，
∴OG=

4

3

，
∴EF=4-

4

3

×2=

4

3

．
∴梯形EFAO的面積是：

1

2

（

4

3

+4）×

4 3

3

=

32 3

9

．
△QMA的面積為：

1

2

×

3

×1=

3

2

．
∴S=3×

4 3

3

+4

3

-2×

32 3

9

+2×

3

2

=

17 3

9

．

點評：本題考查反比例函數的綜合運用，關鍵能通過點確定函數式，由函數式確定點，本題求不重疊部分的面積關鍵是把重疊部分求出來，問題可解．