Question

如圖，已知正方形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，拋物線y=-

2

3

x²+bx+c經過點A，B，交正x軸于點D，E是OC上的動點（不與C重合）連接EB，過B點作BF⊥BE交y軸與F
（1）求b，c的值及D點的坐標；
（2）求點E在OC上運動時，四邊形OEBF的面積有怎樣的規律性？并證明你的結論；
（3）連接EF，BD，設OE=m，△BEF與△BED的面積之差為S，問：當m為何值時S最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）把點A，B代入拋物線y=-

2

3

x²+bx+c求得b、c即可，y=0，建立方程求得點D；
（2）四邊形OEBF的面積不變，利用三角形全等證得結論即可；
（3）用m分別表示出兩個三角形的面積，求差探討得出答案即可．

解答：解：（1）把點A（0，2）、B（2，2）代入拋物線y=-

2

3

x²+bx+c得

c=2 - 8 3 +2b+c=2

解得b=

4

3

，c=2；
∴y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；
令-

2

3

x²+

4

3

x+2=0
解得x₁=-1，x₂=3
∴D點坐標為（3，0）．
（2）點E在OC上運動時，四邊形OEBF的面積不變；
∵四邊形OABC是正方形
∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°
又∵BF⊥BE
∴∠FBE=90°
∴∠ABF=∠CBE
∴△ABF≌△BCE
∴四邊形OEBF的面積始終等于正方形OABC的面積．
（3）如圖，

可以看出S_△BEF=S_梯形OCBF-S_△OEF-S_△BEC
=

1

2

（2+2+m）×2-

1

2

m（2+m）-

1

2

（2-m）×2
=-

1

2

m²+m+2
S_△BED=

1

2

×（3-m）×2
=3-m
兩個三角形的面積差最小為0，
即3-m=-

1

2

m²+m+，
解得m=2±

2

，
∵E是OC上的動點
∴m=2-

2

，
當m=2-

2

時S最小為0．

點評：此題綜合考查待定系數法求二次函數解析式，三角形全等的判定與性質，三角形的面積等知識點．