Question

觀察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，將以上三個等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）計算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）觀察可得結果是分子均為1，分母分別為相鄰2個數的分數的差；
（2）利用（1）得到的結果進行計算即可．

解答：解：（1）

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
…

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
故答案為

1

n

-

1

n+1

；

（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n+1-1

n+1

=

n

n+1

．

點評：考查分數的規律性計算；得到分子為1，分母為相鄰2個數的分數的拆分方法是解決本題的關鍵．