Question

觀察下列等式：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）直接寫出下列各式的計算結果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=

2006

2007

；
（2）探究并計算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2006×2008

．

Answer 1

分析：（1）根據已知的等式得到規律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n為正整數），將所求式子利用此規律拆項，抵消后通分，利用同分母分數的減法法則計算，即可得到結果；
（2）將所求式子提取

1

4

，并將剩下的分母寫出相鄰兩數積的形式，利用上述規律拆項，抵消后計算，即可得到結果．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2006

-

1

2007

=1-

1

2007

=

2006

2007

；
（2）原式=

1

4

（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1003×1004

）
=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

1003

-

1

1004

）
=

1

4

（1-

1

1004

）=

1003

4016

．
故答案為：（1）

2006

2007

點評：此題考查了有理數的混合運算，有理數的混合運算首先弄清運算順序先乘方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里邊的，同級運算從左到右依次進行計算，然后利用各種運算法則計算，有時利用利用運算律來簡化運算．解題的關鍵是找出規律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n為正整數）．