Question

【題目】綜合與實踐：

問題情境：在一次綜合實踐活動課上，同學們以菱形為對象，研究菱形旋轉中的問題：

已知，在菱形ABCD中，BD為對角線，，AB=4，將菱形ABCD繞頂點A順時針旋轉，旋轉角為（單位°）．旋轉后的菱形為．在旋轉探究活動中提出下列問題，請你幫他們解決．

觀察證明：

（1）如圖1，若旋轉角，與BD相交于點M，AB與相交于點N．請說明線段DM與的數量關系；

操作計算：

（2）如圖2，連接，菱形ABCD旋轉的過程中，當與AB互相垂直時，的長為 ；

（3）如圖3，若旋轉角，分別連接，，過點A分別作，，連接EF，菱形ABCD旋轉的過程中，發現在中存在長度不變的線段EF，請求出EF長度；

操作探究：

（4）如圖4，在（3）的條件下，請判斷以，，三條線段長度為邊的三角形是什么特殊三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）2；（4）以，，三條線段為邊的三角形是直角三角形，理由見解析

【解析】

（1）根據旋轉的性質利用ASA易證得，從而證得；

（2）證得點在菱形的對角線AC上，即可求解；

（3）利用等腰三角形三線合一的性質證明EF是的中位線，即可求解；

（4）以為邊向外作等邊三角形，利用證得，求得，即可求解．

（1），

理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB= AD．

∴∠ADB=∠ABD，

由旋轉的性質可得：，

∴，

∴，

∴，

在和中，，

∴(ASA) ，

∴；

（2）連接菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O，

∵四邊形ABCD是菱形，且，AB=4，

∴，

∴，則，

根據旋轉的性質，且與AB互相垂直，

∴，

∴點在菱形ABCD的對角線AC上，

∴

∴；

（3）如圖，連接BD，

根據旋轉的性質可知：

∵ AE⊥D，

∴（等腰三角形三線合一），同理BF=F，

∴EF是的中位線，

∴，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

又∵，是等邊三角形，

∴，

∴；

（4）以，，三條線段為邊的三角形是直角三角形，

理由如下：

如圖，以為邊向外作等邊三角形，連接DB，CM,

∵四邊形ABCD是菱形，，

∴與是等邊三角形，，

由（3）可知：與都是等腰三角形，

∴

，

∵與都是等邊三角形，

∴，，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，,

∴，

∴是直角三角形，

即以，，三條線段長度為邊的三角形是直角三角形．