Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=5，AD=4，BD=DC=3，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于點F．

（1）請寫出與A點有關的三個正確結論；

（2）DE與DF在數量上有何關系？并給出證明．

Answer 1

【答案】①AD⊥BC，②AD平分∠BAC，③AB=AC，④△ABE是等腰三角形，⑤△AED≌△AFD；（2） DE=DF．證明詳見解析．

【解析】

（1）先運用勾股定理的逆定理證明△ABD為直角三角形，且∠ADB=90°，再運用勾股定理求出AC=5，則AB=AC，然后利用等腰三角形的性質即可求解；

（2）根據角平分線的性質即可得出DE=DF．

（1）AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，AB=AC等．理由如下：

∵AB=5，AD=4，BD=3，

∴42+32=52．

∴△ABD為直角三角形，且∠ADB=90°．

∵CD=3，

∴AC=，

∴AB=AC，

又∵BD=CD，

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD；

（2）DE=DF，理由如下：

∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于點F，

∴DE=DF．