Question

【題目】如圖，點(diǎn)P在直線y=x-1上，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線交拋物線y=x2于A(a，a2)，B(b，b2)兩點(diǎn)，當(dāng)滿足PA=PB時(shí)，稱點(diǎn)P為“優(yōu)點(diǎn)”.

(1)當(dāng)a+b=0時(shí)，求“優(yōu)點(diǎn)”P的橫坐標(biāo)；

(2)若“優(yōu)點(diǎn)”P的橫坐標(biāo)為3，求式子18a-9b的值；

(3)小安演算發(fā)現(xiàn)：直線y=x-1上的所有點(diǎn)都是“優(yōu)點(diǎn)”，請(qǐng)判斷小安發(fā)現(xiàn)是否正確？如果正確，說(shuō)明理由；如果不正確，舉出反例.

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)橫坐標(biāo)為；(2)27；(3)正確，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先判斷點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱得到PA∥x軸，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a2，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a2+1，則利用PA=AB得到a2+1-a=a-（-a），然后求出a得到優(yōu)點(diǎn)”P的橫坐標(biāo)；
（2）由于A點(diǎn)為PB的中點(diǎn)，根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到a=，即2a-b=3，然后利用整體代入的方法計(jì)算代數(shù)式的值；

（3）設(shè)P（x，x-1），利用A點(diǎn)為PB的中點(diǎn)得到a=，a2=，消去a得到方程x2+2（b-1）x+1-b2=0，然后通過(guò)證明此方程一定有解判斷直線y=x-1上的所有點(diǎn)都是“優(yōu)點(diǎn)”．

(1)∵，

∴點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，

∴軸，

∵，

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵軸，

∴，解得，

∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為；

(2)∵點(diǎn)在直線上，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵，

∴，

∴，

∴；

(3)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，

當(dāng)時(shí)，分析出點(diǎn)的坐標(biāo)為，

把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式中，

，

整理，得，

∵，

∴對(duì)于任意，總有x使得PA=AB，

∴直線上的點(diǎn)均為優(yōu)點(diǎn).