Question

【題目】

如圖，四邊形ABCD為菱形，點E為對角線AC上的一個動點，連結DE并延長交AB于點F，連結BE．

（1）如圖①：求證∠AFD=∠EBC；

（2）如圖②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度數；

（3）若∠DAB=90°且當△BEF為等腰三角形時，求∠EFB的度數

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）60°；（3）∠EFB=30°或120°．

【解析】

試題分析：（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；

（2）利用等腰三角形的性質結合垂直的定義得出∠DAB的度數；

（3）利用正方形的性質結合等腰三角形的性質得出①當F在AB延長線上時，以及②當F在線段AB上時，分別求出即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為菱形，

∴DC=CB，

在△DCE和△BCE中，

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），

∴∠EDC=∠EBC，

∵DC∥AB，

∴∠EDC=∠AFD，

∴∠AFD=∠EBC；

（2）∵DE=EC，

∴∠EDC=∠ECD，

設∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，則∠CBF=2x°，

由BE⊥AF得：2x+x=90°，

解得：x=30°，

∴∠DAB=∠CBF=60°；

（3）分兩種情況：

①如圖1，當F在AB延長線上時，

∵∠EBF為鈍角，

∴只能是BE=BF，設∠BEF=∠BFE=x°，

可通過三角形內角形為180°得：

90+x+x+x=180，

解得：x=30，

∴∠EFB=30°；

②如圖2，當F在線段AB上時，

∵∠EFB為鈍角，

∴只能是FE=FB，設∠BEF=∠EBF=x°，則有∠AFD=2x°，

可證得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，

得x+2x=90，

解得：x=30，

∴∠EFB=120°，

綜上：∠EFB=30°或120°．