Question

如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4，1）的拋物線交軸于點，交軸于，兩點（點在點的左側），已知點坐標為（6，0）.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）聯結 AB，過點作線段的垂線交拋物線于點,如果以點為圓心的圓與拋物線的對稱軸相切，先補全圖形，再判斷直線與⊙的位置關系并加以證明；

（3）已知點是拋物線上的一個動點，且位于，兩點之間.問：當點運動到什么位置時，的面積最大？求出的最大面積.

 

Answer 1

（1）解：∵拋物線的頂點為（4,1），

∴設拋物線解析式為.

∵拋物線經過點（6，0），∴.∴.

∴.

所以拋物線的解析式為

 (2) 補全圖形、判斷直線BD與⊙相離.

證明：令=0，則，.  ∴點坐標（2，0）.

又∵拋物線交軸于點，∴A點坐標為（0，-3），∴.

設⊙與對稱軸l相切于點F，則⊙的半徑CF=2，

作⊥BD于點E，則∠BEC=∠AOB=90°.

∵，∴.

又∵，∴.

∴∽，∴.

∴，∴.

∴直線BD與⊙相離

(3) 解：如圖，過點作平行于軸的直線交于點.

∵A（0，-3），（6，0）.

∴直線解析式為.

設點坐標為（，），

則點的坐標為（，）.

  ∴PQ=-()=.

   ∵,

   ∴當時，的面積最大為.

∵當時，=

  ∴點坐標為（3，）. 

綜上：點的位置是（3，），的最大面積是