Question

【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，將△BOC繞點C順時針方向旋轉60°，到△ADC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由．
（3）探索：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由旋轉的性質得：CO=CD，∠OCD=60°，

∴△COD是等邊三角形；

（2）

解：當α=150°，即∠BOC=150°時，△AOD是直角三角形．理由如下：

由旋轉的性質得：△BOC≌△ADC，

∴∠ADC=∠BOC=150°，

又∵△COD是等邊三角形，

∴∠ODC=60°，

∴∠ADO=90°，

即△AOD是直角三角形；

（3）

解：分三種情況：

①AO=AD時，∠AOD=∠ADO．

∵∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，

∴190°﹣α=α﹣60°

∴α=125°；

②OA=OD時，∠OAD=∠ADO．

∵∠AOD=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，

∴∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=50°，

∴α﹣60°=50°

∴α=110°；

③OD=AD時，∠OAD=∠AOD．

∵190°﹣α=50°

∴α=140°．

綜上所述：當α的度數為125°或110°或140°時，△AOD是等腰三角形．

【解析】（1）由旋轉的性質得出CO=CD，∠OCD=60°，即可得出結論；（2）由旋轉的性質得出△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=150°，由等邊三角形的性質得出∠ODC=60°，求出∠ADO=90°即可；（3）分三種情況：①AO=AD時；②OA=OD時；③OD=AD時；由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求出結果．
【考點精析】利用旋轉的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．