Question

【題目】對于平面上兩點A，B，給出如下定義：以點A或B為圓心，AB長為半徑的圓稱為點A，B的“確定圓”．如圖為點A，B的“確定圓”的示意圖．

（1）已知點A的坐標為（－1，0），點B的坐標為（3，3），則點A，B的“確定圓”的面積為______；

（2）已知點A的坐標為（0，0），若直線y＝x＋b上只存在一個點B，使得點A，B的“確定圓”的面積為9π，求點B的坐標；

（3）已知點A在以P（m，0）為圓心，以1為半徑的圓上，點B在直線上，若要使所有點A，B的“確定圓”的面積都不小于9π，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）25π；（2）點B的坐標為或；（3）m≤－5或m≥11

【解析】

(1)根據勾股定理，可得AB的長，根據圓的面積公式，可得答案；

(2)根據確定圓,可得l與⊙A相切,根據圓的面積,可得AB的長為3,根據等腰直角三角形的性質,可得，可得答案；

(3)根據圓心與直線垂直時圓心到直線的距離最短,根據確定圓的面積,可得PB的長,再根據30°的直角邊等于斜邊的一半，可得CA的長.

（1）(1)∵A的坐標為(1,0)，B的坐標為(3,3)，

∴AB==5，

根據題意得點A，B的“確定圓”半徑為5，

∴S圓=π×52=25π．

故答案為25π；

（2）∵直線y＝x＋b上只存在一個點B，使得點A，B的“確定圓”的面積

為9π，

∴⊙A的半徑AB＝3且直線y＝x＋b與⊙A相切于點B，如圖，

∴AB⊥CD，∠DCA＝45°．

，

①當b＞0時，則點B在第二象限．

過點B作BE⊥x軸于點E，

∵在Rt△BEA中，∠BAE＝45°，AB＝3，

∴．

∴．

②當b＜0時，則點B'在第四象限．

同理可得．

綜上所述，點B的坐標為或．

（3）如圖2，

，

直線當y＝0時，x＝3，即C（3，0）．

∵tan∠BCP＝，

∴∠BCP＝30°，

∴PC＝2PB．

P到直線的距離最小是PB＝4，

∴PC＝8．

3－8＝－5，P1（－5，0），

3＋8＝11，P（11，0），

當m≤－5或m≥11時，PD的距離大于或等于4，點A，B的“確定圓”的面積都不小于9π．

點A，B的“確定圓”的面積都不小于9π，m的范圍是m≤－5或m≥11．