Question

【題目】如圖，中，點為邊上一點，過點作于，已知．

（1）若，求的度數；

（2）連接，過點作于，延長交于點，若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）∠BEA=70°；（2）證明見解析；

【解析】

（1）作BJ⊥AE于J．證明BJ是∠ABE的角平分線即可解決問題．
（2）作EM⊥AD于M，CN⊥AD于N，連接CH．證明△AEF≌△AEM（HL），△AGE≌△HGC（SAS），△EMA≌△CNH（HL），即可解決問題．

（1）解：作BJ⊥AE于J．
∵BF⊥AB，
∴∠ABJ+∠BAJ=90°，∠AEF+∠EAF=90°，
∴∠ABJ=∠AEF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠D=∠ABC，
∵∠D=2∠AEF，
∴∠ABE=2∠AEF=2∠ABJ，
∴∠ABJ=∠EBJ，
∵∠ABJ+∠BAJ=90°，∠EBJ+∠BEJ=90°，
∴∠BAJ=∠BEJ，
∵∠BAE=70°，
∴∠BEA=70°．

（2）證明：作EM⊥AD于M，CN⊥AD于N，連接CH．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵∠BAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠DAE，
∵EF⊥AB，EM⊥AD，
∴EF=EM，
∵EA=EA，∠AFE=∠AME=90°，
∴Rt△AEF≌Rt△AEM（HL），
∴AF=AM，
∵EG⊥CG，
∴∠EGC=90°，
∵∠ECG=45°，
∠GCE=45°，
∴GE=CG，
∵AD∥BC，
∴∠GAH=∠ECG=45°，∠GHA=∠CEG=45°，
∴∠GAH=∠GHA，
∴GA=GH，
∵∠AGE=∠CGH，
∴△AGE≌△HGC（SAS），
∴EA=CH，
∵CM=CN，∠AME=∠CNH=90°，
∴Rt△EMA≌Rt△CNH（HL），
∴AM=NH，
∴AN=HM，
∵△ACN是等腰直角三角形，
∴AC= AN，即AN=AC，
∴AH=AM+HM=AF+AC．