Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=2，且拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，﹣5）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．

（1）若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PB、PC，若△BPC是以BC為直角邊的直角三角形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上BC段有另一個(gè)動點(diǎn)Q，以點(diǎn)Q為圓心作⊙Q，使得⊙Q與直線BC相切，在運(yùn)動的過程中是否存在一個(gè)最大⊙Q？若存在，請直接寫出最大⊙Q的半徑；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵對稱軸為x=2，且拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），

∴B（5，0）．

把B（5，0），C（0，﹣5）分別代入y=mx+n得 ，解得： ，

∴直線BC的解析式為y=x﹣5．

設(shè)y=a（x﹣5）（x+1），把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：﹣5a=﹣5，解得：a=1，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣4x﹣5

（2）

解：①過點(diǎn)C作CP1⊥BC，交拋物線于點(diǎn)P1，如圖，

則直線CP1的解析式為y=﹣x﹣5，

由 ，解得： （舍去）， ，

∴P1（3，﹣8）；

②過點(diǎn)B作BP2⊥BC，交拋物線于P2，如圖，

則BP2的解析式為y=﹣x+5，

由 ，解得： （舍去）， ，

∴P2（﹣2，7）

（3）

解：由題意可知，Q點(diǎn)距離BC最遠(yuǎn)時(shí)，半徑最大．平移直線BC，使其與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)Q（即相切），設(shè)平移后的直線解析式為y=x+t，

由 ，消去y整理得x2﹣5x﹣5﹣t=0，

△=25+4（5+t）=0，解得t=﹣ ，

∴平移后與拋物線相切時(shí)的直線解析式為y=x﹣ ，且Q（ ，﹣ ），

連接QC、QB，作QE⊥BC于E，如圖，

設(shè)直線y=x﹣ 與y軸的交點(diǎn)為H，連接HB，

則 ，

∵CH=﹣5﹣（﹣ ）= ，

∴ = ，

∴ ，

∵ ，BC= ，

∴QE= ，

即最大半徑為

【解析】（1）根據(jù)對稱軸及A點(diǎn)坐標(biāo)得出B點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出直線BC解析式，再由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)得出拋物線解析式；（2）分別過B、C兩點(diǎn)作BC的垂線，得出垂線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立解出P點(diǎn)；（3）平移BC到與拋物線剛好相切之處，此時(shí)的切點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)Q點(diǎn)距BC的距離最大，也就是半徑最大．由于初中階估沒學(xué)點(diǎn)到直線的距離公式，那么這里可以用等面積法進(jìn)行處理．設(shè)切線與y軸的交點(diǎn)為H，則△HBC與△QBC的面積相等，算出面積，再以BC為底，算出BC邊上的高即為答案．