Question

（2013•平遙縣模擬）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=

3

4

，將∠ABC對折，使點C的對應(yīng)點H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點O，以點O為坐標(biāo)原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求過A、B、O三點的拋物線解析式；
（2）若在線段AB上有一動點P，過P點作x軸的垂線，交拋物線于M，設(shè)PM的長度等于d，試探究d有無最大值？如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由．
（3）若在拋物線上有一點E，在對稱軸上有一點F，且以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，試求出點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先利用勾股定理求出AB的長，再利用在Rt△AOH 中，OH²+AH²=OA²，即m²+2²=（4-m）²，求出m的值，進而得出O，A，B的坐標(biāo)，再利用交點式求出拋物線解析式即可；
（2）首先求出AB解析式，表示出P，M坐標(biāo)，進而得出關(guān)于PM的解析式，即可得出二次函數(shù)最值；
（3）①當(dāng)AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關(guān)于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形．
②當(dāng)AO為平行四邊形的邊時，分別得出E點坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC 中，
∵BC=3，tan∠BAC=

3

4

，
∴AC=4．
∴AB=

BC2+AC2

=

32+42

=5．
設(shè)OC=m，連接OH，如圖，由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，
∴AH=AB-BH=2，OA=4-m．
∴在Rt△AOH 中，OH²+AH²=OA²，即m²+2²=（4-m）²，得 m=

3

2

．
∴OC=

3

2

，OA=AC-OC=

5

2

，
∴O（0，0）A（

5

2

，0），B（-

3

2

，3）．
設(shè)過A、B、O三點的拋物線的解析式為：y=ax（x-

5

2

）．
把x=-

3

2

，y=3代入解析式，得a=

1

2

．
∴y=

1

2

x（x-

5

2

）=

1

2

x2-

5

4

x．
即過A、B、O三點的拋物線的解析式為y=

1

2

x2-

5

4

x．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得：

- 3 2 k+b=3 5 2 k+b=0

解之得：

k=- 3 4 b= 15 8

，
∴直線AB的解析式為y=-

3

4

x+

15

8

．
設(shè)動點P（t，-

3

4

t+

15

8

），則M（t，

1

2

t2-

5

4

t）．
∴d=（-

3

4

t+

15

8

）-（

1

2

t2-

5

4

t）=-

1

2

t2+

1

2

t+

15

8

=-

1

2

(t-

1

2

)2+2
∴當(dāng)t=

1

2

時，d有最大值，最大值為2．

（3）設(shè)拋物線y=

1

2

x2-

5

4

x的頂點為D．
∵y=

1

2

x2-

5

4

x=

1

2

(x-

5

4

)2-

25

32

，
∴拋物線的對稱軸x=

5

4

，頂點D（

5

4

，-

25

32

）．
根據(jù)拋物線的對稱性，A、O兩點關(guān)于對稱軸對稱．
①當(dāng)AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關(guān)于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形．
這時點D即為點E，所以E點坐標(biāo)為（

5

4

，-

25

32

）．
②當(dāng)AO為平行四邊形的邊時，由OA=

5

2

，知拋物線存在點E的橫坐標(biāo)為

5

4

+

5

2

或

5

4

-

5

2

，即

15

4

或-

5

4

，
分別把x=

15

4

和x=-

5

4

代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=

1

2

x2-

5

4

x中，得點
E（

15

4

，

75

32

）或E（-

5

4

，

75

32

）．
所以在拋物線上存在三個點：E₁（

5

4

，-

25

32

），E₂（

15

4

，

75

32

），E₃（-

5

4

，

75

32

），使以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和平行四邊形的性質(zhì)等知識，得出A，B點的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．