Question

【題目】對x，y定義一種新運算F，規定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均為非零常數）．例如：F（3，4）＝3a+4b．

（1）已知F（1，﹣1）＝﹣1，F（2，0）＝4．

①求a，b的值；

②已知關于p的不等式組，求p的取值范圍；

（2）若運算F滿足，請你直接寫出F（m，m）的取值范圍（用含m的代數式表示，這里m為常數且m＞0）．

Answer 1

【答案】（1）①a＝2，b＝3；②1＜p ≤2；（2）F（m，m）的取值范圍是﹣m＜F（m，m）≤3m．

【解析】

（1）①根據定義的新運算F，將F（1，-1）=-1，F（2，0）=4代入F（x，y）=ax+by，得到關于a、b的二元一次方程組，求解即可；

②根據題中新定義化簡已知不等式組，再求出不等式組的解集即可；

（2）由已知條件得出-1＜a+b≤3，由F（m，m）=am+bm=m（a+b），即可得出-m＜m（a+b）≤3m，就可以求得F（m，m）的取值范圍．

解：（1）①根據題意得：F（1，﹣1）＝a﹣b＝﹣1，

F（2，0）＝2a＝4，

解得：a＝2，b＝3；

②根據F（x，y）＝ax+by，

F（3﹣2p，2）＝2（3﹣2p）+6＝12﹣4p，

F（1，2﹣3p）＝2+3（2﹣3p）＝8﹣9p，

∴，

解不等式①得：p≤2，

解不等式②得：p＞1，

故p的取值范圍為1＜p ≤2；

（2）由題意得，

①+②得﹣3＜3（a+b）≤9，

則﹣1＜a+b≤3，

F（m，m）＝am+bm＝m（a+b），

所以﹣m＜m（a+b）≤3m，

故F（m，m）的取值范圍是﹣m＜F（m，m）≤3m．