Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，有下列結論：①∠EBG=45°；②AG+DF=FG；③△DEF∽△ABG；④S△ABG= S△FGH．其中正確的是（　　）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】試題分析：利用折疊性質得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，則可得到∠EBG=∠ABC，于是可對①進行判斷；在Rt△ABF中利用勾股定理計算出AF=8，則DF=AD﹣AF=2，設AG=x，則GH=x，GF=8﹣x，HF=BF﹣BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可對②進行判斷；接著證明△ABF∽△DFE，利用相似比得到，而，所以，所以△DEF與△ABG不相似，于是可對③進行判斷；分別計算S△ABG和S△GHF可對④進行判斷．

解：∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，

將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，

∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，

∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正確；

在Rt△ABF中，AF==8，

∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，

設AG=x，則GH=x，GF=8﹣x，HF=BF﹣BH=10﹣6=4，

在Rt△GFH中，∵GH2+HF2=GF2，

∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，

∴GF=5，

∴AG+DF=FG=5，所以②正確；

∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處

∴∠BFE=∠C=90°，

∴∠EFD+∠AFB=90°，

而∠AFB+∠ABF=90°，

∴∠ABF=∠EFD，

∴△ABF∽△DFE，

∴ ，

∴，

而，

∴，

∴△DEF與△ABG不相似；所以③錯誤．

∵S△ABG=×6×3=9，S△GHF=×3×4=6，

∴S△ABG=1.5S△FGH．所以④正確．

故選C.