Question

【題目】（1）問題發現：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE，則∠AEB的度數為　　，線段AD、BE之間的關系　　．

（2）拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．①請判斷∠AEB的度數，并說明理由；②當CM=5時，AC比BE的長度多6時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）60°；相等；（2）①∠AEB=90°；②AE= 17．

【解析】

（1）易證∠ACD=∠BCE，即可求證△ACD≌△BCE，根據全等三角形對應邊相等可求得AD=BE，根據全等三角形對應角相等即可求得∠AEB的大小；

（2）易證△ACD≌△BCE，利用勾股定理進行解答即可.

解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，

∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°，

故答案為：60°；相等；

（2）①∠AEB=90°，

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，

∵點A、D、E在同一直線上，

∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

②∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME=5．

在Rt△ACM中，AM2+CM2=AC2，

設：BE=AD=x，則AC=（6+x），

（x+5）2+52=（x+6）2，

解得：x=7．

所以可得：AE=AD+DM+ME=17．