Question

【題目】綜合題
（1）如圖1，△ABC中， ，AB的垂直平分線交AC于點D，連接BD．若AC=2，BC=1，則△BCD的周長為；

（2）O為正方形ABCD的中心，E為CD邊上一點，F為AD邊上一點，且△EDF的周長等于AD的長．
①在圖2中求作△EDF（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
②在圖3中補全圖形，求 的度數；
③若 ，則 的值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）解：①如圖,△ 即為所求； ,②在AD上截取AH,使得AH=DE,連接OA、OD、OH．∵點O為正方形ABCD的中心,∴ ,, ．∴△ ≌△ ．∴ , ．∴ ．∵△ 的周長等于 的長,∴ ．∴△ ≌△ ．∴ ．,③ ．
【解析】（1） AB的垂直平分線交AC于點D，

∴BD=AD，

∴ BCD的周長=BC+CD+BD=BC+AC=1+2+3，

所以答案是：3

（ 2 ）③作OG CD于G，OK AD于K，如圖3所示：

設AF=8t，則CE=9t，設OG=m，

∵O為正方形ABVD的中心，

∴四邊形OGDK為正方形，CG=DG=DK=KA= AB=OG，

∴GE=CE-CG=9t-m，DE=2CG-CE=2m-9t，FK=AF-KA=8t-m,DF=2DK-AF=2m-8t,

由（2）②知 EOG ≌ HOF，

∴OE=OH,EF=FH,

在Rt EOG和Rt HOK中，

,

∴Rt EOG ≌Rt HOK(HL)，

∴GE=KH,

∴EF=GE+FK=9t-m+8t-m=17t-2m,

由勾股定理得：DE2+DF2=EF2，

∴（2m-9t）2+(2m-8t)2=(17t-2m)2,

整理得：(m+6t)(m-6t)=0,

∴m=6t

∴OG=OK=6t,GE=9t-m=9t-6t=3t,FK=8t-m=2t,

∴

所以答案是：

【考點精析】掌握比例的性質是解答本題的根本，需要知道基本性質；更比性質（交換比例的內項或外項）；反比性質（交換比的前項、后項）；等比性質．