Question

【題目】如圖①，在銳角△ABC中，D，E分別為AB，BC中點，F為AC上一點，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M．

（1）求證：DM=DA；
（2）如圖②，點G在BE上，且∠BDG=∠C．求證：△DEG∽△ECF；
（3）在（2）的條件下，已知EF=2，CE=3，求GE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DM∥EF，

∴∠AMD=∠AFE，

∵∠AFE=∠A，

∴∠AMD=∠A，

∴DM=DA；

（2）證明：∵D、E分別是AB、BC的中點，

∴DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠C，

∴∠BDE=∠AFE，

∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，

∵∠BDG=∠C，

∴∠GDE=∠FEC，又∠DEB=∠C，

∴△DEG∽△ECF；

（3）解：∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BED，

∴ ，即BD2=BEBG，

∵DE∥AC，DM∥EF，

∴四邊形DEFM是平行四邊形，

∴EF=DM，

又∵DM=AD，AD=BD，

∴EF=BD=2，

∵BE=CE，EF=2，CE=3，

∴22=3BG，

∴BG= ，

∴GE=3﹣ = ．

【解析】（1）（1）根據DM∥EF得到∠AMD=∠AFE，等量代換得到∠AMD=∠A，根據等角對等邊證明即可。
（2）根據三角形中位線定理得到DE∥AC，證得∠BDE=∠AFE，再根據∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，證明∠GDE=∠FEC，根據相似三角形的判定定理證明。
（3）根據已知易證△BDG∽△BED，得到BD2=BEBG，再證明四邊形DEFM是平行四邊形，從而求出BD、BE的長，即可求得BG的長，繼而得出GE的長。
【考點精析】本題主要考查了平行線的性質和三角形中位線定理的相關知識點，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能正確解答此題．