Question

已知二次函數y=x²-（m-2）x+m-3．
①圖象經過原點，則m=

 

；此時拋物線開口

 

，頂點坐標

 

，當x

 

，y隨x的增大而減小．
②圖象的對稱軸是y軸，則m=

 

；與x軸的交點坐標為

 

，當x滿足條件

 

時，y＞0
③圖象的頂點在x軸上，則m=

 

；此圖象關于y軸對稱的圖象的二次函數解析式

 

．

Answer 1

分析：①根據圖象經過原點，即可得出圖象過（0，0），求出m即可，再利用a＞0．得出開口向上，利用公式法求出二次函數頂點坐標，以及二次函數對稱軸．
②根據圖象的對稱軸是y軸，得出-

b

2a

=-

-(m-2)

2×1

=0，得出m的值，再利用圖象經過x軸，即y=0，求出即可，結合圖象可得出y＞0的解集；
③根據圖象的頂點在x軸上，得出b²-4ac=0，求出m的值，再利用此圖象關于y軸對稱，及頂點坐標關于y軸對稱求出二次函數解析式即可．

解答：解：①∵圖象經過原點，即可得出圖象過（0，0），
∴m-3=0，
∴m=3，
∵a＞0，
∴開口向上，
∵二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴頂點坐標是：（

1

2

，-

1

4

），
∵對稱軸直線x=-

b

2a

=

1

2

，開口向上，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而減小；x＞-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；
∴x＜

1

2

時，y隨x的增大而減小．
故答案為：3，上，（

1

2

，-

1

4

），＜

1

2

；

②∵圖象的對稱軸是y軸，
∴m-2=0，
∴m=2，
∴y=x²-（m-2）x+m-3．
=x²-1．
0=x²-1，
∴x=±1，
∴與x軸的交點坐標為：（-1，0），（1，0）．
結合圖象開口向上，∴x＞1或x＜-1時，y＞0；
故答案為：2，（-1，0），（1，0），x＞1或x＜-1；

③∵圖象的頂點在x軸上，
∴b²-4ac=0，求出m的值，
（m-2）²-4（m-3）=0，
解得：m=4，
∴y=x²-（m-2）x+m-3．
=（x-1）²，
∴此圖象關于y軸對稱的圖象的二次函數解析式為：y=（x+1）²，
故答案為：4，y=（x+1）²．

點評：此題主要考查了二次函數的性質以及數形結合判定二次函數增減性和一元二次不等式解法等知識，熟練利用二次函數的圖象性質進行解答是解題關鍵．