Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，4），頂點為（1，

9

2

）．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標；
（3）若點E是線段AB上的一個動點（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時E點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線的頂點為（1，

9

2

）
∴設拋物線的函數關系式為y=a （ x-1）²+

9

2

∵拋物線與y軸交于點C （0，4），
∴a （0-1）²+

9

2

=4
解得a=-

1

2

∴所求拋物線的函數關系式為y=-

1

2

（ x-1）²+

9

2

（2）P₁ （1，

17

），P₂ （1，-

17

），P₃ （1，8），P₄ （1，

17

8

），

（3）存在．
令-

1

2

（ x-1）²+

9

2

=0，解得x₁=-2，x₂=4
∴拋物線y=-

1

2

（ x-1）²+

9

2

與x軸的交點為A （-2，0）B（4，0）
過點F作FM⊥OB于點M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴

MF

OC

=

EB

AB

又∵OC=4，AB=6，
∴MF=

EB

AB

×OC=

2

3

EB
設E點坐標為 （x，0），則EB=4-x，MF=

2

3

（4-x）
∴S=S_△BCE-S_△BEF=

1

2

EB•OC-

1

2

EB•MF
=

1

2

EB（OC-MF）=

1

2

（4-x）[4-

2

3

（4-x）]
=-

1

3

x²+

2

3

x+

8

3

=-

1

3

（ x-1）²+3
∵a=-

1

3

＜0，
∴S有最大值
當x=1時，S_最大值=3
此時點E的坐標為 （1，0）．