Question

【題目】如圖，拋物線與軸分別交于，兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第二象限內取一點，作垂直于軸于點，連接，且，，將沿軸向右平移個單位，當點落在拋物線上時，求的值；

（3）在（2）的條件下，當點第一次落在拋物線上時記為點，點是拋物線對稱軸上一點.試探究：在拋物線上是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或9；（3）存在，或或，理由見解析

【解析】

(1)由的坐標,利用待定系數法可求得拋物線的解析式;
(2)根據題意可求得點坐標,設平移后的點的對應點為,則點的縱坐標為,代入拋物線解析式可求得點的坐標,則可求得平移的單位,可求得的值;
(3)由(2)可求得E點坐標,連接交對稱軸于點,過作軸于點,當為平行四邊形的邊時,過作對稱軸的垂線,垂足為,則可證得,可求得,即可求得到對稱軸的距離,則可求得點的橫坐標,代入拋物線解析式可求得點坐標;當為對角線時,由的坐標可求得線段的中點坐標,設,由點的橫坐標則可求得點的橫坐標,代入拋物線解析式可求得點的坐標.

（1）

（2），且，∴且，∴

設平移后點的對應點、，則、點的縱坐標為8

代入拋物線得∴，

∴或

∵，∴當點落在拋物線上時，向右平移了7或9個單位

∴或9

（3）∵拋物線對稱軸為

∴可設，由（2）可知

①當為平行四邊形的邊時，連接交對稱軸于，過作軸于

當為平行四邊形的邊時，過作對稱軸的垂線，垂足為，如圖

則

可知，∴

設，則

∴，或

∴或

②當為對角線時

∵，

∴線段的中點，則的中點為

設，且

∴，得

把代人拋物線可得

∴

∴或或