Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）當BD=6，sinC=

3

5

時，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OE，
∵AB=BC且D是AC中點，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BD，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE為⊙O半徑，
∴AC與⊙O相切．

（2）∵BD=6，sinC=

3

5

，BD⊥AC，
∴BC=10，
∴AB=BC=10，
設⊙O 的半徑為r，則AO=10-r，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A，
∴sinA=sinC=

3

5

，
∵AC與⊙O相切于點E，
∴OE⊥AC，
∴sinA=

OE

OA

=

r

10-r

=

3

5

，
∴r=

15

4

，
答：⊙O的半徑是

15

4

…