Question

【題目】已知二次函數y=mx2+nx+p圖象的頂點橫坐標是2，與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，與y軸交于點C，O為坐標原點，tan∠CAO﹣tan∠CBO=1．

（1）求證：n+4m=0；

（2）求m、n的值；

（3）當p＞0且二次函數圖象與直線y=x+3僅有一個交點時，求二次函數的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析（2）m=，n=-1或m=-，n=1（3）4

【解析】

試題分析：（1）由題意可知拋物線的對稱軸為x=2，利用對稱軸公式x=，易證n+4m=0；

（2）本問利用三角函數定義和拋物線與x軸交點坐標性質求解．特別需要注意的是拋物線的開口方向未定，所以所求m、n的值將有兩組，不能遺漏；

（3）本問利用一元二次方程的判別式等于0求解．當p＞0時，m、n的值隨之確定；將拋物線的解析式與直線的解析式聯立，得到一個一元二次方程；由交點唯一可知，此一元二次方程的判別式等于0，據此求出p的值，從而確定了拋物線的解析式；最后由拋物線的解析式確定其最大值．

試題解析：

（1）∵二次函數y=mx2+nx+p圖象的頂點橫坐標是2，

∴拋物線的對稱軸為x=2，

即=2，

化簡得：n+4m=0．

（2）∵二次函數y=mx2+nx+p與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，

∴OA=﹣x1，OB=x2；

x1+x2=，x1x2=；

令x=0，得y=p，

∴C（0，p），

∴OC=|p|．

由三角函數定義得：tan∠CAO=，tan∠CBO=．

∵tan∠CAO﹣tan∠CBO=1

，即，

化簡得： =，

將x1+x2=，x1x2=代入得：，

化簡得：n==±1．

由（1）知n+4m=0，

∴當n=1時，m=-；當n=﹣1時，m=．

∴m、n的值為：m=，n=﹣1（此時拋物線開口向上）或m=-，n=1（此時拋物線開口向下）．

（3）解：由（2）知，當p＞0時，n=1，m=-，

∴拋物線解析式為：y=x2+x+p．

聯立拋物線y=x2+x+p與直線y=x+3解析式得到： x2+x+p=x+3，

化簡得：x2﹣4（p﹣3）=0 ①．

∵二次函數圖象與直線y=x+3僅有一個交點，

∴一元二次方程①的判別式等于0，

即△=02+16（p﹣3）=0，解得p=3．

∴拋物線解析式為：y=x2+x+p=y=x2+x+3=（x﹣2）2+4，

當x=2時，二次函數有最大值，最大值為4．

∴當p＞0且二次函數圖象與直線y=x+3僅有一個交點時，二次函數的最大值為4．