Question

【題目】已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F．（1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若等邊三角形ABC的邊長為4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

試題（1）連接DO，要證明DF為⊙O的切線只要證明∠FDP=90°即可；

（2）首先由已知可得到CD，CF的長，從而利用勾股定理可求得DF的長；再連接OE，求得CF，EF的長，從而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得陰影部分的面積．

試題解析：

（1）證明：連接DO．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠C=60°．

∵OA=OD，

∴△OAD是等邊三角形．

∴∠ADO=60°，

∵DF⊥BC，

∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，

∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，

∴DF為⊙O的切線；

（2）∵△OAD是等邊三角形，

∴AD=AO=AB=2．

∴CD=AC﹣AD=2．

Rt△CDF中，

∵∠CDF=30°，

∴CF=CD=1．

∴DF=，

連接OE，則CE=2．

∴CF=1，

∴EF=1．

∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）DF=，

∴S扇形OED==，

∴S陰影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．