Question

【題目】新定義：如圖（1）和圖（2）中，點P是平面內一點，如果＝2或＝，稱點P是線段AB的強弱點．

（1）如圖2，在Rt△APB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，問：點B是否是線段AP的強弱點？請說明理由；

（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B是線段AC的強弱點（BA＞BC），BD是Rt△ABC的角平分線，求證：點D是線段AC上的強弱點．

Answer 1

【答案】（1）點B是線段AP的強弱點，理由見解析；（2）見解析

【解析】

（1）在Rt△PAB中，根據直角三角形30度角的性質得：AB和PB的關系，由新定義即可解決問題；

（2）如圖3中，由B是線段AC的強弱點（BA＞BC），推出AB＝2BC，可得∠A＝30°，根據角平分線的定義和等腰三角形的判定，直角三角形30度角的性質可得AD＝2CD，解決問題.

（1）解：點B是線段AP的強弱點，理由是：

如圖2中，

在Rt△PAB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，

∴AB＝2PB，

∴＝2，

∴點B是線段AP的強弱點；

（2）證明：如圖3中，

∵B是線段AC的強弱點（BA＞BC），

∴AB＝2BC，

Rt△ACB中，∠A＝30°，∠ABC＝60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°＝∠A，

∴AD＝BD，

Rt△BCD中，BD＝2CD，

∴＝2，

∴點D是線段AC上的強弱點．