Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．

（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；

（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，

①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

②若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數量關系式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，5cm（2）①②a+b=12（ab≠0）

【解析】

試題分析：（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據勾股定理即可求得AF的長；

（2）①分情況討論可知，當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可；

②分三種情況討論可知a與b滿足的數量關系式．

解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足為O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四邊形AFCE為平行四邊形，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE為菱形，

②設菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，

由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①顯然當P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形；

同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上或P在BF，Q在CD時不構成平行四邊形，也不能構成平行四邊形．

因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，

∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，

∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，

∴PC=5t，QA=CD+AD﹣4t=12﹣4t，即QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得，

∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，秒．

②由題意得，四邊形APCQ是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應邊上．

分三種情況：

i）如圖1，當P點在AF上、Q點在CE上時，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；

ii）如圖2，當P點在BF上、Q點在DE上時，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；

iii）如圖3，當P點在AB上、Q點在CD上時，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．

綜上所述，a與b滿足的數量關系式是a+b=12（ab≠0）．