Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，點A（10，0）和點B（2，2），在線段OA上，點P從點O向點A運動，同時點Q從點A向點O運動，運動過程中保持AQ=2OP，當P、Q重合時同時停止運動，過點Q作x軸的垂線，交直線AB于點M，延長QM到點D，使MD=MQ，以QD為對角線作正方形QCDE（正方形QCDE隨點Q運動）．

（1）求這條拋物線的函數表達式；

（2）設正方形QCDE的面積為S，P點坐標（m，0）求S與m之間的函數關系式；

（3）過點P作x軸的垂線，交拋物線于點N，延長PN到點G，使NG=PN，以PG為對角線作正方形PFGH（正方形PFGH隨點P運動），當點P運動到點（2，0）時，如圖2，正方形PFGH的邊GF和正方形QCDE的邊EQ落在同一條直線上．

①則此時兩個正方形中在直線AB下方的陰影部分面積的和是多少？

②若點P繼續向點A運動，還存在兩個正方形分別有邊落在同一條直線上的情況，請直接寫出每種情況下點P的坐標，不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；（2）；（3）①5；② P1（2.5，0），P2（9-，0），P3（，0）．

【解析】

（1）由拋物線過原點和點A（10，0）設其解析式為，代入點B的坐標（2，2）解得a的值即可得到拋物線的解析式；

（2）由已知條件求出直線AB的解析式，由點P的坐標為（m，0）結合已知條件可得OQ=10-2m，由此即可用含m的式子表達出DQ的長度，這樣由四邊形ACDE是正方形即可由S=DQ2求出S與m之間的函數關系式了；

（3）①將x=2代入拋物線解析式得y=2，可知點N的坐標為（2，2），點G的坐標為（2，4），當GF和EQ落在同一條直線上時，△FGQ為等腰直角三角形，則PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，將x=6代入直線AB解析式可求得得點M的坐標為（6，1），即QM=1，由旋轉法可知，每一個陰影部分面積等所在正方形面積的一半，由此可求兩個陰影部分面積和；②分為PF、DE在同一直線上；PF、CQ在同一直線上；GF、CD在同一直線上三種情況分析計算求出相應的P點的坐標即可.

（1）∵拋物線過O（0，0），A（10，0），

∴設拋物線解析式為，

將B（2，2）代入，得，解得，

∴拋物線解析式為，

即 ：；

（2）設直線AB的解析式為：，將A（10，0），B（2，2）代入，得，解得，

∴，

∵P（m，0），

∴OP=m，AQ=2m，OQ=10-2m，

∴當x=10-2m時，QM=，

∴QD=m，

∵四邊形QCDE是正方形，

∴；

（3）① ∵點P的坐標為（2，0），

∴將x=2代入拋物線解析式：可得點N的坐標為（2，2），

由正方形的性質可得點G的坐標為：（2，4），

∴PG=4，

又∵當GF和EQ落在同一條直線上時，△PGQ為等腰直角三角形，

∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直線AB解析式 可得點M的坐標為：（6，1），即QM=1，QD=2，

∴陰影部分面積和=×（PG2+QD2）=5；

②若點P繼續向點A運動，則當兩個正方形分別有邊落在同一條直線上時，點P的坐標如下：

P1（2.5，0），P2（，0），P3（9-，0）．