Question

【題目】如圖，已知等邊三角形的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)圖像的兩個(gè)分支上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，當(dāng)的面積最小時(shí)，的值__________．

Answer 1

【答案】-3

【解析】

當(dāng)?shù)冗吶�角�?/span>ABC的邊長(zhǎng)最小時(shí)，△ABC的面積最小，點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=圖象的兩個(gè)分支上，則當(dāng)A、B在直線y=x上時(shí)最短，即此時(shí)△ABC的面積最小，根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得OA=OB，設(shè)OA=x，則AC=2x，OC=x，根據(jù)等邊三角形三線合一可證明△AOE∽△OCF，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可得結(jié)論．

解：根據(jù)題意當(dāng)A、B在直線y=x上時(shí)，△ABC的面積最小，

函數(shù)y=圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴OA=OB，

連接OC，過A作AE⊥y軸于E，過C作CF⊥y軸于F，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AO⊥OC，

∴∠AOC=90°，∠ACO=30°，

∴∠AOE+∠COF=90°，

設(shè)OA=x，則AC=2x，OC=x，

∵AE⊥y軸，CF⊥y軸，

∴∠AEO=∠OFC=∠AOE+∠OAE=90°，

∴∠COF=∠OAE，

∴△AOE∽△OCF，

∴，

∵頂點(diǎn)A在函數(shù)y=圖象的分支上，

∴S△AOE=，

∴S△OCF=，

∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象上，

∴k=-3，

故答案為-3．