Question

【題目】在中，，．

（1）如圖1，若，，求的面積．

（2）如圖2，若為線段上任意一點，探究，，三者之間的關系，并證明．

（3）如圖3，若，為內一點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）．

【解析】

（1）根據，可得，即可求解．

（2）將△ABD繞點A逆時針旋轉90°，點B對應點C，點D對應點，由旋轉的性質和勾股定理可得，即，即可得證．

（3）將△BDC繞點B順時針旋轉60°，得到△，連接，連接交BC于點E，通過等邊三角形的性質和旋轉的性質可得當時，有最小值，根據勾股定理求解即可．

（1）∵，

∴

∵，

∴．

（2）

將△ABD繞點A逆時針旋轉90°，點B對應點C，點D對應點

由旋轉的性質得

∴

∴在Rt△中，

∵在Rt△中，

∴

∴

即．

（3）將△BDC繞點B順時針旋轉60°，得到△，連接，連接交BC于點E

∵

∴為等邊三角形

∴

∵

∴

∴的最小值為的最小值

故當時，有最小值

∵

∴△ABC是等腰直角三角形

∵

∴

即，

即

∴的最小值為．