Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝50cm，∠A＝60°，點D從C點沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點區從A點沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設點D、E運動的時間是t秒(0＜t≤15)，過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF.

(1)求證：AE＝DF；

(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)能，當t＝10時，AEFD是菱形.

【解析】

（1）根據兩動點的速度與時間表示出AE，CD，在直角三角形CDF中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半表示出DF即可；

（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當AD＝AE時，四邊形AEFD是菱形，據此即可列方程求得t的值．

（1）∵直角△ABC中，∠C＝90°﹣∠A＝30°．

∵CD＝4t，AE＝2t，

又∵在直角△CDF中，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝2t，

∴AE＝DF；

（2）∵DF⊥BC，

∴∠CFD＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠B＝∠CFD，

∴DF∥AB，

由（1）得：DF＝AE＝2t，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

當AD＝AE時，四邊形AEFD是菱形，

即60﹣4t＝2t，

解得：t＝10，

即當t＝10時，AEFD是菱形．