Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），點的坐標為，與軸交于點，作直線．動點在軸上運動，過點作軸，交拋物線于點，交直線于點，設點的橫坐標為．

（Ⅰ）求拋物線的解析式和直線的解析式；

（Ⅱ）當點在線段上運動時，求線段的最大值；

（Ⅲ）當以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，y=﹣x+3；（2）當m=時，MN有最大值，MN的最大值為；（3）或．

【解析】（1）由A、C兩點的坐標利用待定系數法可求得拋物線解析式，則可求得B點坐標，再利用待定系數法可求得直線BC的解析式；

（2）用m可分別表示出N、M的坐標，則可表示出MN的長，再利用二次函數的最值可求得MN的最大值；

(3) 由條件可得出MN=OC，結合（2）可得到關于m的方程，可求得m的值

本題解析：

（1）∵拋物線過A、C兩點，

∴代入拋物線解析式可得 ，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，

∵B點在A點右側，

∴B點坐標為（3，0），

設直線BC解析式為y=kx+s，

把B、C坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

（2）∵PM⊥x軸，點P的橫坐標為m，

∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，- m+3），

∵P在線段OB上運動，

∴M點在N點上方，

∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，

∴當m=時，MN有最大值，MN的最大值為；

（3）∵PM⊥x軸，

∴MN∥OC，

當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，則有OC=MN，

當點P在線段OB上時，則有MN=﹣m2+3m，

∴﹣m2+3m=3，此方程無實數根，

當點P不在線段OB上時，則有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，

∴m2﹣3m=3，解得m=或m=，

綜上可知當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，m的值為或．