Question

【題目】如圖，點E是平行四邊形ABCD的邊BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F,連接AC、BF,∠AEC=2∠ABC；(1)求證:四邊形ABFC是矩形；(2)在(1)的條件下,若△AFD是等邊三角形,且邊長為4,求四邊形ABFC的面積。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由ABCD為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行得到AB與DC平行，根據兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，由E為BC的中點，得到兩條線段相等，再由對頂角相等，利用ASA可得出三角形ABE與三角形FCE全等；進而得出AB=FC，即可得出四邊形ABFC是平行四邊形，再由直角三角形的判定方法得出△BFC是直角三角形，即可得出平行四邊形ABFC是矩形．

（2）由等邊三角形的性質得出∠AFC=60°，AF=DF=4，得出CF=CD=2，由矩形的性質得出∠ACF=90°，得出AC=CF=2，即可得出四邊形ABFC的面積=ACCF=4．

解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥DC，

∴∠ABE=∠ECF，

又∵E為BC的中點

∴BE=CE，

在△ABE和△FCE中，，

∴△ABE≌△FCE（ASA）；

∴AE=EF，AB=CF，

∴四邊形ABFC是平行四邊形，

∵∠AEC=2∠ABC=∠ABC+∠BAE，

∴∠ABC=BAE，

∴AE=BE

∵AE=EF，BE=CE，

∴AF=BC，

∴平行四邊形ABFC是矩形；

（2）∵△AFD是等邊三角形，

∴∠AFC=60°，AF=DF=4，

∴CF=CD=2，

∵四邊形ABFC是矩形，

∴∠ACF=90°，

∴AC=CF=2，

∴四邊形ABFC的面積=ACCF= ．