Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點，，且，滿足，點為上一個動點（不與，）重合），連接.

圖1 圖2

（1）直接寫出 ___________，___________；

（2）如圖1，過點作的垂線交過點平行于軸的直線于點，若點，

求點的坐標；

（3）如圖2，以為斜邊在右側作等腰，.連接，當點從向運動過程中，的面積是否發生變化，請判斷并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）面積不變為4，理由見解析.

【解析】

（1）根據完全平方公式即可化簡，再根據非負性求解；

（2）過點作交軸于點，證明△APM為等腰直角三角形，再得到，得到，過作軸于點，根據得到

，故可得到OM，即可求出AC的長，即可求解；

（3）延長到，使， 得到為等腰三角形，再證明得到，根據直角三角形斜邊上的中線性質得到AD=PD=DE,延長至點，使，得到四邊形APFE為矩形，得到點在運動過程中，點在垂直平分線上運動，可得△BOD的BO邊上的高為，再根據三角形的面積即可求解.

（1）∵

∴a+b=0，a-4=0，

∴a=4,b=-4

故答案為：，；

（2）過點作交軸于點，

∵A（0,4）,B（-4,0）

∴∠BAO=45°，

∴△APM為等腰直角三角形，

∵∠OPC=∠MPA=90°

∴∠OPC-∠MPC=∠MPA-∠MPC

∴∠OPM=∠CPA

∴AP=MP，∠PAM=∠PMA=45°

又∠PAC=∠PMO=135°

∴，

，

過作軸于點，又，

，

，

；

（3）延長到，使，連接，，

∵△POD為等腰直角三角形，

∴PD=OD=DE，OD⊥PE

則為等腰三角形，

∴PO=EO

∴AO=BO，∠POE=∠AOB=90°，

∵∠POE-∠AOP=∠AOB-∠AOP

∴∠POB=∠EOA

∴（SAS）

，

∴AD=PD=DE,

延長至點，使，

∴AD=DF=PD=DE,

∴四邊形APFE為矩形，

，即，

點在運動過程中，點在垂直平分線上運動，

∴△BOD的BO邊上的高為，

.