Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+mx（m<0）交x軸于O，A兩點，頂點為點B．

（1）求△AOB的面積（用含m的代數式表示）；

（2）直線y=kx+b（k＞0）過點B，且與拋物線交于另一點D（點D與點A不重合），交y軸于點C．過點C作CE∥AB交x軸于點E．

（ⅰ） 若∠OBA=90°，2<<3，求k的取值范圍；

（ⅱ） 求證：DE∥y軸．

Answer 1

【答案】（1）－；（2）（ⅰ）1＜k＜2；（ⅱ）見解析

【解析】

（1）已知yx2mx，將其化為頂點式，可求得B點坐標，令x2mx＝0可求得OA長，即可用m表示出△OAB的面積．

（2）（ⅰ）如圖所示，過點B作BF⊥x軸于點F，可證得△EOC∽△AFB，得出，已知，則，（1）中已得出點B的坐標，且∠OBA90°，得△OAB為等腰直角三角形，列出關于m的方程，求得m值，進而求出BF長，得到OC的取值范圍，即為直線ykxb與y軸截距的取值范圍，由已知求得的點B坐標，代入直線ykxb，即可得出k的取值范圍．

（ⅱ）將用m表示的B點坐標代入直線ykxb中，可將b用m，k表示出來，C點坐標可用m，k表示出來，令拋物線解析式與直線BC解析式相等得到交點D的坐標，再求得AB解析式，根據CE∥AB，即可求得直線CE解析式，得到E點坐標，若點D，E的橫坐標相同，即可證得DE∥y軸．

（1）yx2mx＝

∴點B的坐標為B

由x2mx＝0，

得x=0，或x=－m，

∴A(－m,0)

∴OA＝－m

∴S△OAB＝

（2）（ⅰ）如圖所示，過點B作BF⊥x軸于點F

則∠AFB＝∠EOC＝90°

∵CE∥AB

∴∠OEC＝∠FAB

∴△EOC∽△AFB

∴

∵

∴

∵拋物線的頂點坐標為B(,)，∠OBA90°

∴△OAB為等腰直角三角形

∴

∵m≠0

∴m=－2

∴B(1,－1)

∴BF＝1

∴2＜OC＜3

∵點C為直線ykxb與y軸交點

∴2＜－b＜3

∵直線ykxb（k＞0）過點B

∴kb＝－1

∴－b＝k+1

∴2＜k+1＜3

∴1＜k＜2

故答案為：1＜k＜2

（ⅱ）∵直線ykxb（k＞0）過點B(,)

∴

∴

∴ykx

∴C(0,)

由x2mxkx，得

x2(m－k)x－＝0

△＝(m-k)2＋4＝k2

解得x1，x2，

∵點D不與點B重合

∴點D的橫坐標為

設直線AB的表達式為y=px+q，則：

解得

∴直線AB的表達式為y=+

∵直線CE∥AB，且過點C，

∴直線CE的表達式為y=+

當y=0時，x＝

∴E(,0)

∴點D，E的橫坐標相同

∴DE∥y軸