Question

閱讀下面的例題：
解方程：x²-

x2

-2=0．
解：（1）當x≥0時，

x2

=x，
原方程化為  x²-x-2=0，
解得 x=2或x=-1（不合題意，舍去）．
（2）當x＜0時，-x＞0，

x2

=

(-x)2

=-x，
原方程化為 x²+x-2=0，
解得 x=1（不合題意，舍去）或x=-2．
綜合（1）（2）可得原方程的根是：x₁=2，x₂=-2．
請參照例題解方程：x²-

(x-2)2

-2=0．

Answer 1

分析：分兩種情況：
（1）當x-2≥0，即x≥2時，由此去掉方程的根號原方程可化為x²-（x-2）-2=0，然后解方程同時判定方程的解是否有意義；
（2）當x-2＜0，即x＜2時，由此去掉方程的根號原方程可化為x²-（2-x）-2=0，然后解方程同時判定方程的解是否有意義．

解答：解：（1）當x-2≥0，即x≥2時，

(x-2)2

=x-2，
原方程可化為x²-（x-2）-2=0
x²-x=0
x（x-1）=0
解得：x=0或x₂=1．
因為x≥2，所以x=0，x₂=1均不符合題意，舍去．
（2）當x-2＜0，即x＜2時，

(x-2)2

=2-x，
原方程可化為x²-（2-x）-2=0
x²+x-4=0
∵a=1，b=1，c=-4
∴b²-4ac=1-4×1×（-4）=17．
∴x=

-1± 17

2

．
∴x=

-1+ 17

2

或x=

-1- 17

2

．
∴綜合（1）（2）可得原方程的根是：x1=

-1+ 17

2

，x2=

-1- 17

2

．

點評：此題主要考查了無理方程的解法，主要方法是方程兩邊同時平方從而轉化為整式方程解決問題．同時也利用了分類討論的方法．