Question

某“研究性學習小組”遇到了以下問題，請參與：
已知，△ABC是等邊三角形且內接于⊙O，取

AB

上異于A、B的點M．設直線CA與BM相交于點K，直線CB與AM相交于點N．

（1）如圖1，圖2，圖3，M分別為

AB

的中點、三分之一點、四分之一點，△ABC的邊長均為2，分別測量出AK、BN的長，計算AK•BN的值（精確到0.01）并將結果填入下表中：

	△ABC的邊長	AK•BN的值
圖1	2
圖2	2
圖3	2

（2）如圖4，當M為

AB

上任意一點時，根據（1）的結果，猜想AK•BN與AB的數量關系式為

 

；
（3）對（2）中提出的猜想，依圖4給出證明．

Answer 1

分析：本題要求的實際是AK、BN與等邊三角形ABC邊長的關系．可通過證△AKB與△BAN相似來求解．

解答：解：（1）4，4，4

（2）AK•BN=AB²

（3）∵∠ABM+∠BAM=∠AMK=∠C=60°，∠BAM+∠N=60°
∴∠ABM=∠N
∵∠KAB=∠NBA=120°
∴△AKB∽△BAN
∴

AK

AB

=

AB

BN

∴AK•BN=AB²．

點評：本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，等邊三角形的性質等知識點．根據圓周角定理得出角相等從而證得三角形相似是解題的關鍵．