Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x+與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與直線AC交于點E．

（1）若點P為直線AC上方拋物線上的動點，連接PC，PE，當△PCE的面積S△PCE最大時，點P關于拋物線對稱軸的對稱點為點Q，此時點T從點Q開始出發，沿適當的路徑運動至y軸上的點F處，再沿適當的路徑運動至x軸上的點G處，最后沿適當的路徑運動至直線AC上的點H處，求滿足條件的點P的坐標及QF+FG+AH的最小值．

（2）將△BOC繞點B順時針旋轉120°，邊BO所在直線與直線AC交于點M，將拋物線沿射線CA方向平移個單位后，頂點D的對應點為D′，點R在y軸上，點N在坐標平面內，當以點D′，R，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出N點坐標．

Answer 1

【答案】（1）P（﹣，），Q'H＝；（2）N（﹣，）或N（﹣，）或N（﹣，﹣）；

【解析】

（1）易求A（﹣3，0），B（1，0），C（0，），直線AC的直線解析式為y＝x+，當△PCE的面積S△PCE最大時，當P點到直線AC的距離d最大即可求出點P坐標，進而可求點Q坐標，作點Q關于y軸的對稱點Q'，作AC關于x軸的對稱AC'，過點Q'作直線AC'的垂線交于點H，角y軸于點F，交x軸于點G，即可求QF+FG+AH的最小值；

（2）由平移可知拋物線向下移動個單位，向左平移1個單位，易求B'O的直線解析式為y＝x﹣，從而可以知道點M的坐標，然后分類討論：①當D'M是菱形RD'NM的對角線時，②當D'M∥RN時.

解：（1）在中令y=0，解得，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x=0，解得，則C（0，），求得，

∴直線AC的直線解析式為，

過點P作PK∥y軸交AC于點K，設，其中，則

∵

∵，

∴拋物線開口向下，

又∵且對稱軸為直線

∴當時，S△PCE最大，

∴

∵點P關于拋物線對稱軸的對稱點為點Q，拋物線對稱軸x＝﹣1

∴

作點Q關于y軸的對稱點），作AC關于x軸的對稱AC'

過點Q'作直線AC'的垂線交于點H，交y軸于點F，交x軸于點G，

∴Q'F＝QF，

∵∠CAO＝∠OAH＝30°，

∴HG＝AHtan30°＝AH，

∴QF+FG+AH＝Q'F+FG+HG＝Q'H，

過Q'作Q'M⊥x軸，交x軸于點M，交AH于點N，

∴Q'M＝，

在Rt△AMN中，AM＝，

∴MN＝，

∴Q'N＝，

在中，

∴

∴∠HQ'N＝∠OAH＝30°，

∴Q'H＝；

（2）在Rt△OBC中，OC＝，OB＝1，

∴∠CBO＝60°，

∵將△BOC繞點B順時針旋轉120°，

∴∠O'BC＝60°，

∴O'（，），

將拋物線沿射線CA方向平移個單位，

∴BB'＝，BB'∥AC，

∴∠BB'K＝30°，

過點B'⊥x軸，交x軸于點K，

在Rt△BB'K中，B'K＝，BK＝1，

∴拋物線向下移動個單位，向左平移1個單位，

∵D（﹣1，），

∴D'（﹣2，），

∴B'O的直線解析式為y＝x﹣，

M點坐標為方程組的解，

∴M（，），

①當D'M是菱形RD'NM的對角線時，

D'M的中點為（﹣，），

設R（0，n），N（﹣，m），

∵＝，，

∴m＝﹣，

∴N（﹣，﹣）；

②當D'M∥RN時，

設R（0，n），N（﹣，m），

∵D'M2＝（）2+（）2＝13，

∴D'N2＝（）2+（﹣n）2＝13，

∴m＝或m＝﹣，

∴N（﹣，）或N（﹣，）；

∴N（﹣，）或N（﹣，）或N（﹣，﹣）；