Question

【題目】已知：如圖，四邊形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE⊥BD，EF⊥CE

(1)試證明△AEF∽△BEC；

(2)如圖，過 C 點作 CH⊥AD 于 H，試探究線段 DH 與 BF 的數量關系，并說明理由；

(3)若 AD＝1，CD＝5，試求出 BE 的值？

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)DH＝BF，理由見解析；(3)BE＝．

【解析】

（1）想辦法證明∠AEF=∠BEC，∠FAE=∠EBC即可解決問題；

（2）結論：DH=BF．利用比例的性質首先證明AD=AF，再證明四邊形ABCH是正方形即可解決問題；

（3）設正方形的邊長為x，在Rt△CDH中，DH=x-1，CH=x，CD=5，可得52=x2+（x-1）2，解得x=4，再通過解直角三角形求出BE的長即可.

（1）證明：∵AE⊥BD，EF⊥CE，

∴∠AEB=∠FEC=90°，

∴∠AEF=∠BEC，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠EBC=90°，∠ABE+∠FAE=90°，

∴∠FAE=∠EBC，

∴△AEF∽△BEC；

（2）解：結論：DH=BF．

理由：∵△AEF∽△BEC，

∴，

∵∠ABE=∠ABD，∠AEB=∠BAD=90°，

∴△ABE∽△DBA，

∴，

∴，∵BC=AB，

∴AF=AD，

∵∠ABC=∠BAD=∠H=90°，

∴四邊形ABCH是矩形，

∵AB=BC，

∴四邊形ABCH是正方形，

∴AB=AH，∵AF=AD，

∴BF=DH．

（3）設正方形的邊長為x，

在Rt△CDH中，DH=x-1，CH=x，CD=5，

∴52=x2+（x-1）2，

解得x=4，

∴AB=4，AD=1，

在Rt△ABD中，BD=，

∵ADAB=BDAE，

∴AE=，

在Rt△AEB中，BE=．